Permutaciones y Combinaciones
Introduce n y r para calcular permutaciones (importa el orden) y combinaciones (no importa el orden), también conocidas como variaciones.
¿Qué es?
La combinatoria estudia cuántas formas distintas existen de seleccionar o arreglar elementos de un conjunto. Esta calculadora calcula dos valores para n elementos elegidos de r en r: permutaciones P(n,r) = n! / (n-r)!, donde el orden de selección importa; y combinaciones C(n,r) = n! / (r! × (n-r)!), donde el orden no importa. El límite máximo es n = 20 para garantizar precisión exacta. Se admiten r = 0 y r = n como casos especiales válidos.
¿Para qué sirve?
Las permutaciones y combinaciones son la base de la probabilidad discreta y se usan para contar posibilidades en sorteos, contraseñas, horarios, equipos deportivos, problemas de química (isómeros) y muchas más aplicaciones. Son materia fundamental en álgebra y probabilidad de bachillerato y universidad en México, Colombia, Argentina, Chile, Perú y toda Latinoamérica. Aparecen en el COMIPEMS, ICFES, PSU/PAES, ENEM de Brasil y en todos los exámenes de admisión universitaria de la región.
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Preguntas frecuentes
- ¿Cuál es la diferencia entre permutaciones y combinaciones?
- La diferencia fundamental es si el orden de selección importa o no. Permutaciones: el orden importa. Seleccionar A luego B es DISTINTO de seleccionar B luego A. Se usa cuando el orden modifica el resultado: contraseñas, medallas (oro-plata-bronce), cargos directivos (presidente-secretario-tesorero), arreglos de elementos en fila. Combinaciones: el orden NO importa. Seleccionar A y B es LO MISMO que seleccionar B y A. Se usa cuando solo importa quiénes o qué se selecciona: equipos, comités, manos de cartas, números de lotería. Regla para distinguir: ¿cambiar el orden da un resultado diferente? Si sí → permutación. Si no → combinación.
- ¿Cuáles son las fórmulas de P(n,r) y C(n,r)?
- Permutaciones: P(n,r) = n! / (n-r)!, donde n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1 (factorial de n). Ejemplo: P(5,3) = 5!/(5-3)! = 120/2 = 60. Hay 60 formas de ordenar 3 personas elegidas de un grupo de 5. Combinaciones: C(n,r) = n! / (r! × (n-r)!). Ejemplo: C(5,3) = 120 / (6×2) = 120/12 = 10. Hay 10 formas de elegir 3 personas de un grupo de 5 sin importar el orden. Relación entre ambas: P(n,r) = C(n,r) × r!, es decir, cada combinación genera r! permutaciones. Por eso siempre P(n,r) >= C(n,r).
- ¿Por qué el factorial crece tan rápido y cuál es el límite de la calculadora?
- El factorial crece extraordinariamente rápido: 1!=1, 2!=2, 5!=120, 10!=3.628.800, 15!=1.307.674.368.000, 20!=2.432.902.008.176.640.000. Para n=21 el factorial supera 2^64, el límite de precisión de los números de punto flotante de 64 bits usados por JavaScript. A partir de n=21 los resultados podrían ser inexactos por redondeo. Por eso esta calculadora limita n a 20. Si necesitas valores mayores, deberías usar aritmética de precisión arbitraria (Python con la librería math.factorial, por ejemplo). Los valores de n de 1 a 20 son exactos.
- ¿Para qué sirven las combinaciones en loterías latinoamericanas?
- Las loterías usan combinaciones para calcular la probabilidad de ganar. El número de posibles combinaciones es C(N, k) donde N es la cantidad total de números disponibles y k es cuántos debes acertar. Ejemplos: Melate (México): C(56,6) = 12.913.352 combinaciones — probabilidad de acertar 6/56 es 1 en 12,9 millones. Loto (Chile): C(41,6) = 4.496.388 combinaciones. Baloto (Colombia): C(43,6) = 6.096.454. Quini 6 (Argentina): C(46,6) = 10.737.573. Mega-Sena (Brasil): C(60,6) = 50.063.860. Cuantos más números hay o más se deben acertar, mayor el total de combinaciones y menor la probabilidad de ganar.
- ¿Cuáles son los casos especiales C(n,0), C(n,n) y P(n,n)?
- C(n,0) = 1: hay exactamente 1 forma de no elegir ningún elemento (elegir el conjunto vacío). C(n,n) = 1: hay exactamente 1 forma de elegir todos los elementos (elegir el conjunto completo). C(n,1) = n: hay n formas de elegir exactamente un elemento. P(n,n) = n!: hay n! formas de ordenar todos los n elementos, lo que se llama permutación total o arreglo completo. Ejemplo: P(4,4) = 4! = 24 formas de ordenar 4 personas en una fila. Estas identidades son el fundamento del triángulo de Pascal (triángulo de Tartaglia), donde cada elemento es C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k).
- ¿Cómo se usan las permutaciones para contraseñas y códigos?
- El número de contraseñas posibles depende del tamaño del alfabeto y la longitud: PIN de 4 dígitos (del 0 al 9, con repetición): 10⁴ = 10.000 combinaciones. PIN de 4 dígitos sin repetición: P(10,4) = 10!/6! = 5.040. Contraseña de 8 letras minúsculas sin repetición: P(26,8) = 26!/18! = 62.990.928.000 ≈ 63 mil millones. Con repetición: 26⁸ ≈ 208 mil millones. Con mayúsculas + minúsculas + 10 dígitos (62 caracteres), 8 posiciones con repetición: 62⁸ ≈ 218 billones. Este análisis muestra por qué las contraseñas más largas y con más tipos de caracteres son exponencialmente más seguras.
- ¿Cómo se aplican las combinaciones en la formación de equipos y comités?
- Ejemplos prácticos en LATAM: (1) Un torneo de fútbol tiene 12 equipos. ¿Cuántos partidos hay si cada equipo juega contra todos los demás una vez? C(12,2) = 66 partidos. (2) Una empresa tiene 8 candidatos para 3 puestos en un comité (donde los puestos son equivalentes). ¿Cuántos comités distintos hay? C(8,3) = 56 comités. (3) Si los 3 puestos son distintos (presidente, vicepresidente, secretario): P(8,3) = 336 formas. (4) Un maestro debe elegir 5 alumnos de 20 para representar a la escuela: C(20,5) = 15.504 posibles grupos. La distinción entre permutación y combinación cambia drásticamente el resultado.
- ¿Qué es el triángulo de Pascal y cómo se relaciona con las combinaciones?
- El triángulo de Pascal (llamado también triángulo de Tartaglia en Italia y de Yang Hui en China) organiza los coeficientes binomiales C(n,k) en filas triangulares. La fila n (empezando desde 0) contiene los valores C(n,0), C(n,1), ..., C(n,n). Las primeras filas: fila 0: 1; fila 1: 1 1; fila 2: 1 2 1; fila 3: 1 3 3 1; fila 4: 1 4 6 4 1. Regla de construcción: cada número es la suma de los dos que están encima de él. El triángulo de Pascal tiene propiedades extraordinarias: suma de la fila n = 2^n; los coeficientes del binomio (a+b)^n son los de la fila n del triángulo. Se estudia en álgebra de bachillerato en toda Latinoamérica.